Question

【題目】已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，以為圓心作半徑為的圓，圓與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，與拋物線(xiàn)分別交于點(diǎn).

（1）若為直角三角形，求半徑的值；

（2）判斷直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，并給出證明.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切.

【解析】

(1)由對(duì)稱(chēng)性可知, 為等腰直角三角形,且軸, 為直徑,再根據(jù)的橫坐標(biāo)為,代入拋物線(xiàn)的方程求解縱坐標(biāo)即可得半徑.

(2)畫(huà)圖觀察可知與拋物線(xiàn)相切,再設(shè),根據(jù)圓的半徑相等求得點(diǎn)坐標(biāo).再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解拋物線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率,進(jìn)而證明與直線(xiàn)的斜率相等即可.

(1)由拋物線(xiàn)與圓的對(duì)稱(chēng)性可知, 點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),故為直角.故為等腰直角三角形, 且軸,為直徑.故的橫坐標(biāo)為,代入可得.

故.

(2)不妨設(shè).則根據(jù)拋物線(xiàn)的定義以及圓的半徑相等有,故的橫坐標(biāo)為.即.

故直線(xiàn)的斜率為.

又拋物線(xiàn)的上半部分為函數(shù),故,故在處切線(xiàn)的斜率為.故直線(xiàn)為在處切線(xiàn).

故直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切.