Question

【題目】已知點，是橢圓的左，右焦點，橢圓上一點滿足軸，，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點，當的內切圓面積最大時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由軸，結合勾股定理可得，從而可求出，，則可知，結合，可求出，即可求出橢圓的標準方程.

（2）設，，，與橢圓方程聯立，可得，，從而可用 表示出，用內切圓半徑表示出，即可知，結合基本不等式，可求出當半徑取最大時， 的值，從而可求出直線的方程.

解：（1）因為軸，所以，則，

由，，解得，，，

由橢圓的定義知， ，即，

橢圓的標準方程為.

（2）要使的內切圓的面積最大，需且僅需其的內切圓的半徑最大.

因為，，設，，易知，直線l的斜率不為0，

設直線，聯立，整理得，

故，；

所以

，

又，

故，即，；

當且僅當，即時等號成立，此時內切圓半徑取最大值為，

直線l的方程為或.