Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若直線l過(guò)點(diǎn)F且，求直線l的方程；

（2）已知點(diǎn)，若直線l不與坐標(biāo)軸垂直，且，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）或；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）法一：分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為與聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求解；法二：設(shè)直線方程為，方程聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求解；

（2）設(shè)直線方程為與聯(lián)立，由得，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到直線過(guò)定點(diǎn).

解：（1）法一：焦點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

此時(shí)，不符合題意，故直線的斜率存在.

設(shè)直線方程為與聯(lián)立得，

當(dāng)時(shí)，方程只有一根，不符合題意，故.

，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義得

，

解得，

所以方程為或

法二：焦點(diǎn)，顯然直線不平行于x軸，設(shè)直線方程為，

與聯(lián)立得，設(shè)，

，

由，解得，

所以方程為或

（2）設(shè)，，

設(shè)直線方程為與聯(lián)立得

，

由得，即

整理得，即

整理得

即，即

故直線方程為過(guò)定點(diǎn)