Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）若，若對任意，存在，使得 成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的單調遞減區間是，單調遞增區間時;(2) .

【解析】試題分析：（1）求導，由得減區間，由得增區間；

（2）當時， ，又，所以對任意，存在，使得成立， 存在，使得成立， 存在，使得成立， 的圖象與直線有交點， 方程在上有解.

試題解析：

（Ⅰ）因為，

所以，

因為的定義域為，當時， 或時，

所以的單調遞減區間是，單調遞增區間時.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，

又，

所以對任意，存在，使得成立，

存在，使得成立，

存在，使得成立，

因為 表示點與點之間距離的平方，

所以存在，使得成立，

的圖象與直線有交點，

方程在上有解，

設，則，

當時， 單調遞增，當時， 單調遞減，

又，所以的值域是，

所以實數的取值范圍是.