Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD， ，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC．
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）設二面角A﹣PB﹣C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】解：（I）以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系A﹣xyz，
設D（ ，b，0），則C（2 ，0，0），P（0，0，2），E（ ，0， ），B（ ，﹣b，0）
∴ =（2 ，0，﹣2）， =（ ，b， ）， =（ ，﹣b， ）
∴ = ﹣ =0， =0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II） =（0，0，2）， =（ ，﹣b，0）
設平面PAB的法向量為 =（x，y，z），則
取 =（b， ，0）
設平面PBC的法向量為 =（p，q，r），則
取 =（1，﹣ ， ）
∵平面PAB⊥平面PBC，∴ =b﹣ =0．故b=
∴ =（1，﹣1， ）， =（﹣ ，﹣ ，2）
∴cos＜ ， ＞= =
設PD與平面PBC所成角為θ，θ∈[0， ]，則sinθ=
∴θ=30°
∴PD與平面PBC所成角的大小為30°

【解析】（I）先由已知建立空間直角坐標系，設D（ ，b，0），從而寫出相關點和相關向量的坐標，利用向量垂直的充要條件，證明PC⊥BE，PC⊥DE，從而利用線面垂直的判定定理證明結論即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用兩平面垂直的性質，即可求得b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進而求得線面角
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想，以及對向量語言表述線面的垂直、平行關系的理解，了解要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可;設直線的方向向量是，平面內的兩個相交向量分別為，若．