Question

求下列函數的導數：
（1）y=（1-

x

）（1+

1

x

）；
（2）y=

lnx

x

；
（3）y=tanx；
（4）y=xe^1-cosx．

Answer 1

分析：（1）先將式子展開化簡，再由冪函數的導數求解即可．
（2）由兩個函數商的求導法則，結合對數函數的導數糾結即可．
（3）將tanx轉化為正弦和余弦商的形式，由兩個函數商的求導法則求解．
（4）首先將函數看作兩個函數y=x和y=e^1-cosx的乘積形式，利用兩個函數積的求導法則求解，
而y=e^1-cosx為復合函數，求導時應用復合函數求導法則．

解答：解：（1）∵y=（1-

x

）（1+

1

x

）=

1

x

-

x

=x-

1

2

-x

1

2

，
∴y′=（x-

1

2

）′-（x

1

2

）′=-

1

2

x-

3

2

-

1

2

x-

1

2

．
（2）y′=（

lnx

x

）′=

(lnx)′x-x′lnx

x2

=

\f(1

x

•x-lnx，x2)=

1-lnx

x2

．
（3）y′=（

sinx

cosx

）′=

(sinx)′cosx-sinx(cosx)′

cos2x

=

cosxcosx-sinx(-sinx)

cos2x

=

1

cos2x

．
（4）y′=（xe^1-cosx）′=e^1-cosx+x（e^1-cosx）′
=e^1-cosx+x[e^1-cosx•（1-cosx）′]
=e^1-cosx+xe^1-cosx•sinx
=（1+xsinx）e^1-cosx．

點評：本題考查導數的求解、導數的運算法則、復合函數的導數，考查運算能力．