Question

【題目】設實數a，b滿足a+2b=9．
（1）若|9﹣2b|+|a+1|＜3，求a的取值范圍；
（2）若a，b＞0，且z=ab2 ， 求z的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：（1）由a+2b=9得a=9﹣2b，即|a|=|9﹣2b|，

若|9﹣2b|+|a+1|＜3，則|a|+|a+1|＜3，

即有 或 或 ，

解得0＜a＜1或﹣2＜a＜﹣1或﹣1≤a≤0，

解得﹣2＜a＜1，

所以a的取值范圍為（﹣2，1）；

（2）解：方法一、由a，b＞0，且z=ab2=abb≤（ ）3=（ ）3=33=27，

當且僅當a=b=3時，等號成立．

故z的最大值為27．

方法二、a+2b=9，可得a=9﹣2b，

由a＞0，可得0＜b＜ ，

z=ab2=（9﹣2b）b2=9b2﹣2b3，

z的導數為z′=18b﹣6b2=6b（3﹣b），

可得0＜b＜3，導數z′＞0，函數z遞增；

3＜b＜ 時，導數z′＜0，函數z遞減．

則b=3處函數z取得極大值，且為最大值27．

【解析】（1）由條件原不等式變為|a|+|a+1|＜3，對a討論，去掉絕對值，解不等式即可得到所求解集；（2）方法一、由a，b＞0，且z=ab2=abb，運用三元基本不等式，即可得到得到最大值；方法二、由條件可得a=9﹣2b，求得b的范圍，求出z關于b的函數，求出導數，單調區間，可得極大值，且為最大值．
【考點精析】通過靈活運用基本不等式在最值問題中的應用，掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”即可以解答此題．