Question

【題目】已知圓，定點，點為圓上的動點，點在直線上，點在直線上，且滿足.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點作斜率為的直線，與曲線交于兩點， 是坐標原點，是否存在這樣的直線，使得，若存在，求出直線的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）點Q在NP上，點G在MP上，由已知有|GN|+|GM|=|MP|=6，由橢圓的定義知G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，由定義寫出其標準方程即可得到點G的軌跡C的方程．（2）令A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1x2+y1y21，由直線l與曲線C聯立求利用根與系數的關系求出x1x2，y1y2的參數表達式，代入求直線的斜率k的范圍．

試題解析：

（1）為線段的中點且，

則為的中垂線，故，

所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中

點的軌跡的方程是

（2）設的方程為，

由得，

，

，

則，

解得.

故存在這樣的直線，使得，此時其斜率的取值范圍是.