Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1=AB=2．

（1）求證：AB1∥平面BC1D；
（2）若BC=3，求三棱錐D﹣BC1C的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接B1C，設B1C與BC1相交于O，連接OD，

∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，∴點O為B1C的中點．

∵D為AC的中點，

∴OD為△AB1C的中位線，∴OD∥B1A．

OD平BC1D，AB1平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D．

（2）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴側棱CC1∥AA1，

又∵AA1⊥底面ABC，∴側棱CC1⊥面ABC，

故CC1為三棱錐C1﹣BCD的高，A1A=CC1=2，

∴ ．

∴ ．

【解析】（1）連接B1C，交BC1相交于O，連接OD，可證明OD是△AB1C的中位線，再根據線面平行的判定定理即可證明．（2）由已知可得側棱CC1⊥面ABC，把計算三棱錐D﹣BC1C的體積轉化為計算三棱錐C1﹣BCD的體積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．