Question

【題目】對于在某個區間上有意義的函數，如果存在一次函數使得對于任意的，有恒成立，則稱函數是函數的一個弱漸近函數.

（1）若函數是函數在區間上的一個弱漸近函數，求實數的取值范圍；

（2）證明：函數是函數在區間上的弱漸近函數；

（3）試問：函數與函數（其中為自然對數的底數）在區間上是否存在相同的弱漸近函數？如果存在，請求出對應的弱漸近函數應滿足的條件；如不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，，其中.

【解析】

（1）由弱漸近函數的定義得出，由此可求出實數的取值范圍；

（2）當時，利用分子有理化結合放縮法證明出，結合弱漸近函數的定義可證明結論成立；

（3）假設存在滿足題意的弱漸近函數，根據弱漸近函數的定義得出和，可求得以及實數所滿足的不等式組，解出即可得出滿足題意的若漸近函數的解析式.

（1）依題意，當時，恒成立，

即恒成立，故，所以，實數的取值范圍是；

（2）當時，

，

，.

故，得證；

（3）假設存在滿足題意的弱漸近函數，

，

若，由于當時，，故，

但是，當時，，故，

不符合“恒成立”的要求，所以，

此時，則，

解得：；

，

當時，，故，

得，解得：.

綜上所述，函數與函數在區間上存在相同的弱漸近函數，對應的弱漸近函數是，其中.