【題目】如圖1所示，在直角梯形DCEF中，
，
，
，
，將四邊形ABEF沿AB邊折成圖2.
（1）求證：
平面DEF；
（2）若
，求平面DEF與平面EAC所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
（1）連接BD,交AC于點O,取DE的中點為G,連接FG，OG，證明
，再利用線面平行判定定理，即可證得
平面DEF；
（2）以C為坐標原點，CB，CD，CE所在直線分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，求出平面DEF的法向量
，平面EAC的法向量
，求出兩個法向量夾角的余弦值，從而求得平面DEF與平面EAC所成銳二面角的余弦值。
（1）連接BD,交AC于點O,取DE的中點為G,連接FG，OG,
則
，
，
又因為
，
，
所以
，且
，
所以四邊形AOGF是平行四邊形，
所以，
又
平面DEF，
平面DEF，
所以平面DEF.
（2）因為
，
，
，
所以
，
所以
，
因為，
，
，
所以
，
所以
，
因為
，
所以
平面ABCD，
所以CB，CD，CE兩兩垂直，
以C為坐標原點，CB，CD，CE所在直線分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
由
，得
，
設平面DEF的法向量為
，
因為
，
，
所以由
，
，得
，
令
，得
，
，
所以，
設平面EAC的法向量
，
因為
，
，
所以由
，
，得
，
令
，得，
設平面DEF與平面EAC所成的銳二面角為
，
所以
，
所以平面DEF與平面EAC所成的銳二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于在某個區間
上有意義的函數
，如果存在一次函數
使得對于任意的
，有
恒成立，則稱函數
是函數的一個弱漸近函數.
（1）若函數
是函數
在區間
上的一個弱漸近函數，求實數
的取值范圍；
（2）證明：函數
是函數
在區間上的弱漸近函數；
（3）試問：函數
與函數
（其中
為自然對數的底數）在區間
上是否存在相同的弱漸近函數？如果存在，請求出對應的弱漸近函數應滿足的條件；如不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，若存在實數
，使得對于定義域內的任意實數
，均有
成立，則稱函數
為“可平衡”函數，有序數對
稱為函數的“平衡”數對.
（1）若
，判斷
是否為“可平衡”函數，并說明理由；
（2）若
，
，當
變化時，求證：
與
的“平衡”數對相同；
（3）若
，且
、
均為函數
的“平衡”數對.當
時，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】第十一屆全國少數民族傳統體育運動會在河南鄭州舉行，某項目比賽期間需要安排3名志愿者完成5項工作，每人至少完成一項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式共有多少種
A.60B.90C.120D.150
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
（
為參數），將曲線
上所有點橫坐標縮短為原來的
，縱坐標不變，得到曲線
，過點
且傾斜角為
的直線
與曲線交于
、
兩點．
（1）求曲線的參數方程和的取值范圍；
（2）求
中點
的軌跡的參數方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的最小正周期為
，將函數
的圖像向右平移
個單位長度，再向下平移
個單位長度，得到函數
的圖像.
（1）求函數的單調遞增區間；
（2）在銳角
中，角
的對邊分別為
，若
，
，求面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某鮮花店根據以往某品種鮮花的銷售記錄，繪制出日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組區間的頻率視為概率，且假設每天的銷售量相互獨立．
（1）求在未來的連續4天中，有2天的日銷售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；
（2）用
表示在未來4天里日銷售量不低于100枝的天數，求隨機變量
的分布列和數學期望．
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