Question

【題目】已知函數(shù)，（為正常數(shù)），且函數(shù)與的圖像在軸上的截距相等；

（1）求的值；

（2）若（為常數(shù)），試討論函數(shù)的奇偶性.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）利用函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，建立方程，可求a的值；

（2）利用奇偶函數(shù)的定義，確定b的值，進(jìn)而可得函數(shù)的奇偶性．

（1）由題意，∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，∴f（0）＝g（0），即|a|＝1，又a＞0，故a＝1．

（2）h（x）＝f（x）+b＝|x﹣1|+b|x+1|，其定義域?yàn)?/span>R，∴h（﹣x）＝|x+1|+b|x﹣1|．

若h（x）為偶函數(shù)，即h（x）＝h（﹣x），則有b＝1，此時(shí)h（2）＝4，h（﹣2）＝4，

故h（2）≠﹣h（﹣2），即h（x）不為奇函數(shù)；

若h（x）為奇函數(shù)，即h（x）＝﹣h（﹣x），則b＝﹣1，此時(shí)h（2）＝2，h（﹣2）＝﹣2，

故h（2）≠h（﹣2），即h（x）不為偶函數(shù)；

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時(shí)，函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，且不為奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝﹣1時(shí)，函數(shù)h（x）為奇函數(shù)，且不為偶函數(shù)，當(dāng)b≠±1時(shí)，函數(shù)h（x）既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)．