Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數的單調性；

（Ⅲ）對于任意，，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分類討論，詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）當時，求出可得切線的斜率，從而得到切線方程.

（Ⅱ）求出后就討論其符號后可得函數的單調區間.

（Ⅲ）就、、、 、分類討論后可得的最大值和最小值，從而得到關于的不等式組，其解即為所求的取值范圍.

解：（Ⅰ）當時，因為

所以，.

又因為，

所以曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）因為，

所以.

令，解得或.

若，當即或時，

故函數的單調遞增區間為；

當即時，故函數的單調遞減區間為.

若，則，

當且僅當時取等號，故函數在上是增函數.

若，當即或時，

故函數的單調遞增區間為；

當即時，故函數的單調遞減區間為.

綜上，時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為；

時，函數單調遞增區間為；

時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（Ⅲ） 由題設，只要即可.

令，解得或.

當時，隨變化， 變化情況如下表：

		減	極小值	增

由表可知，此時 ，不符合題意.

當時，隨變化， 變化情況如下表：

		增	極大值	減	極小值	增

由表可得，

且，，

因，所以只需，

即 ，解得.

當時，由（Ⅱ）知在為增函數，

此時，符合題意.

當時，

同理只需，即 ，解得.

當時，，，不符合題意.

綜上，實數的取值范圍是.