Question

在直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)

PQ

與

BC

的夾角θ取何值時(shí)，

BP

•

CQ

的值最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則建立

BP

•

CQ

與

PQ

與

BC

的夾角θ的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解．

解答： 解：如圖
以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b），且|PQ|=2a，|BC|=a．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則Q（-x，-y）．
∴

BP

=（x-c，y），

CQ

=（-x，-y-b），

BC

=（-c，b），

PQ

=（-2x，-2y）．
∴

BP

•

CQ

=（x-c）（-x）+y（-y-b）=-（x²+y²）+cx-by．
∵cosθ=

BP • CQ

| BP || CQ |

=

cx-by

a2

，
∴cx-by=a²cosθ．
∴

BP

•

CQ

=-a²+a²cosθ．
故當(dāng)cosθ=1，即θ=0，

PQ

與

BC

的方向相同時(shí)，

BP

•

CQ

最大，其最大值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，函數(shù)思想．