Question

如圖所示，已知△AOB中，點C與點B關于點A對稱，

OD

=2

DB

，DC和OA交于點E，設O

A

=

a

，

OB

=

b

．
（1）用

a

和

b

表示向量

OC

，

DC

；
（2）若

OE

=

λOA

，求實數λ的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）由于點C與點B關于點A對稱，可得

OA

=

1

2

(

OB

+

OC

)，解得

OC

=2

a

-

b

．即可得出

DC

=

DO

+

OC

．
（2）由C，E，D三點共線，根據向量共線定理存在實數m使得

OE

=m

OC

+(1-m)

OD

．另一方面

OE

=λ

OA

=λ

a

，即可得出．

解答： 解：（1）∵點C與點B關于點A對稱，∴點A是線段BC的中點，
∴

OA

=

1

2

(

OB

+

OC

)，即

a

=

1

2

(

b

+

OC

)，解得

OC

=2

a

-

b

．

DC

=

DO

+

OC

=-

2

3

OB

+

OC

=-

2

3

b

+2

a

-

b

=2

a

-

5

3

b

．
（2）∵C，E，D三點共線，∴存在實數m使得

OE

=m

OC

+(1-m)

OD

=m(2

a

-

b

)+(1-m)•

2

3

b

=2m

a

+

2-5m

3

b

．
又

OE

=λ

OA

=λ

a

，
∴

2m=λ 2-5m 3 =0

，解得λ=

4

5

．

點評：本題考查了中心對稱、向量的平行四邊形法則、向量共線定理、共面向量基本定理，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．