Question

已知二次函數y=f（x）=x²+bx+c的圖象過點（1，13），且函數y=f(x-

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)是偶函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）函數y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數，縱坐標是一個完全平方數？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）根據函y=f(x-

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)是偶函數可求得二次函數f（x）的對稱軸方程，從而可求得b，二次函數f（x）=x²+bx+c的圖象過點（1，13），可求c，即可求f（x）的解析式；
（2）如果函數y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，設為P（m，n²），從而4n²-（2m+1）²=43，由此求得m、n的值，從而得出結論．

解答： 解：（1）因為函數y=f(x-

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)是偶函數，
所以二次函數f（x）=x²+bx+c的對稱軸方程為x=-

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，故b=1．----------------------（4分）
又因為二次函數f（x）=x²+bx+c的圖象過點（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式為f（x）=x²+x+11．-------------------------------------（5分）
（2）如果函數y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，設為P（m，n²），其中m為正整數，n為自然數，則m²+m+11=n²，從而4n²-（2m+1）²=43，即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=43．------------------（9分）
注意到43是質數，且2n+（2m+1）＞2n-（2m+1），2n+（2m+1）＞0，所
以有

2n+(2m+1)=43 2n-(2m+1)=1

解得

m=10 n=11.

因此，函數y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，它的坐標為（10，121）．（14分）

點評：本題主要考查二次函數的性質應用，考查學生的計算能力，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．