Question

【題目】設動圓P(圓心為P)經過定點(0，2)、(t+2，0)、(t－2，0)三點，當t變化時，P的軌跡為曲線C

(1) 求C的方程

(2) 過點(0，2)且不垂直于坐標軸的直線l與C交于A、B兩點，B點關于y軸的對稱點為D，求證：直線AD經過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點

【解析】分析：（1）設動圓P圓心為，半徑為 依題意的：，消去即可得解；

（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D(－x2，y2)，令x=0并將，代入，可解得AD的y截距：y0=x1x2，設直線l：y=kx+2與拋物線聯立，利用韋達定理即可得證.

詳解：（1）設M(t+2,0)、N(t-2,0)、R(0,2)，

當t變化時，總有MN=4，故圓P被x軸截得的弦長為4

設動圓P圓心為，半徑為 依題意的：

化簡整理得：

所以，點P的軌跡C的方程

(2)由對稱性知，直線AD經過的定點在y軸上

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D(－x2，y2)，其中，，

直線AD的方程為：

令x=0并將，代入，可解得AD的y截距：y0=x1x2

設直線l：y=kx+2，代入拋物線方程，可得：x2－4kx－8=0

所以x1x2=－8，此時y0=－2

故直線AD過定點(0, －2)