Question

【題目】如圖，平面PAC⊥平面ABC，點E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點，點G是線段CO的中點，AB＝BC＝AC＝4，PA＝PC＝2．求證：

（1）PA⊥平面EBO；

（2）FG∥平面EBO．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）詳見解析

【解析】

試題（1）證明線面垂直條件，一般利用線面垂直判斷定理給予證明，即從線線垂直證明，而條件面面垂直，可利用其性質定理 ，轉化為線面垂直，即由平面PAC⊥平面ABC得 BO⊥面PAC．進而得到線線垂直;（2）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理給予證明，即從線線平行出發，本題中可利用三角形重心性質或三角形中位線性質，因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點，因此AF與 BE交點Q是△PAB的重心，得到對應線段成比例，，從而得到線線平行．

試題解析：證明：由題意可知，△PAC為等腰直角三角形，

△ABC為等邊三角形．

（1）因為O為邊AC的中點，所以BO⊥AC．

因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，

BO平面ABC，所以BO⊥面PAC．

因為PA平面PAC，所以BO⊥PA．

在等腰三角形PAC內，O、E為所在邊的中點，所以OE⊥PA．

又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO．

（2）連AF交BE于Q，連QO．

因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點，

所以，且Q是△PAB的重心，

于是，所以FG∥QO．

因為FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO．

【注】第（2）小題亦可通過取PE中點H，利用平面FGH∥平面EBO證得．