Question

【題目】在平面直角坐標系中，點關于直線對稱的點位于拋物線上.

（1）求拋物線的方程；

（2）設拋物線的準線與其對稱軸的交點為，過點的直線交拋物線于點， ，直線交拋物線于另一點，求直線所過的定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設，則，進而解得坐標帶入拋物線即可得解；

（2）根據題意， ，設點， ，由，利用坐標運算得，設點，由，得，利用點斜式得直線的方程是，代入條件整理可得，從而證得過定點.

試題解析：

（1）設，則，∴，解之得，

代入，得，所以拋物線的方程為.

（2）根據題意， ，設點， ，

因為， ， 三點共線，

所以，即，∴，∴，

設點，因為， ， 三點共線，

所以，即，∴.

所以，即，

所以，即①，

因為，所以直線的方程是.

即，即②，

由①②可得.所以直線過定點.