Question

【題目】已知橢圓 的焦距為 ，且過點 ，設 ， 是 上的兩個動點，線段 的中點 的橫坐標為 ，線段 的中垂線交橢圓 于 ， 兩點．

（1）求橢圓 的方程；

（2）設點縱坐標為m，求直線的方程，并求出 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)根據題意得到,.所以，于是 ，，進而得到方程；（2）分情況討論，當直線 垂直于 軸時，直線 方程為 ，此時 ，，得 ；當直線 不垂直于 軸時，設直線 的斜率為 ，，，，由線段 的中點 的橫坐標為 ，得 ，得到直線 斜率為 聯立直線和橢圓得二次方程，，根據點在橢圓內得到，進而求得結果.

（1） 因為橢圓 的焦距為 ，且過點K ，所以,.所以，于是 ，，所以橢圓 的方程為 ．

（2） 由題意，當直線 垂直于 軸時，直線 方程為 ，此時 ，，得 ．當直線 不垂直于 軸時，設直線 的斜率為 ，，，，由線段 的中點 的橫坐標為 ，得 ，

則 ，故 ．此時，直線 斜率為 ， 的直線方程為 ，即 ．

聯立 消去 ，整理得 ．

設 ，，所以，于是

由于 在橢圓的內部，故 ，

所以 ．

綜上， 的取值范圍為 ．