Question

【題目】已知橢圓的左右頂點是雙曲線的頂點，且橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與相交于兩點，與相交于兩點，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由雙曲線的頂點可得，求出雙曲線的漸近線方程，運用點到直線的距離公式可得，即可得到橢圓方程

設直線的方程為，聯立雙曲線方程，消去，運用韋達定理和判別式大于，結合向量的數量積的坐標表示，求得的關系式，再由直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到所求

（1）由題意可知：，

又橢圓的上頂點為，

雙曲線的漸近線為：，

由點到直線的距離公式有：，

所以橢圓的方程為。

（2）易知直線的斜率存在，設直線的方程為，代入，消去并整理得：

，

要與相交于兩點，則應有：

設，

則有：，.

又 .

又：，所以有： ，

，②

將，代入，消去并整理得：，

要有兩交點，則 .③

由①②③有：

設、.

有：，

.

將代入有：

.

,令,

令 ,.

所以在內恒成立，故函數在內單調遞增，

故 .