Question

【題目】已知函數f（x）= （x＞0）．
（1）試判斷函數f（x）在（0，+∞）上單調性并證明你的結論；
（2）若f（x）＞ 恒成立，求整數k的最大值；
（3）求證：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= （x＞0），

∴f′（x）= [ ]= [ ]

∵x＞0，∴x2＞0， ，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，

∴函數f（x）在（0，+∞）上是減函數

（2）解：f（x）＞ 恒成立，即h（x）= ＞k恒成立，

即h（x）的最小值大于k．

而h′（x）= ，令g（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0），

則g′（x）= ，∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

又g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，

∴g（x）=0存在唯一實根a，且滿足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）

當x＞a時，g（x）＞0，h′（x）＞0，當0＜x＜a時，g（x）＜0，h′（x）＜0，

∴h（x）min=h（a）= =a+1∈（3，4）

故正整數k的最大值是3

（3）解：由（Ⅱ）知 （x＞0）

∴ln（x+1）＞ ﹣1=2﹣ ＞2﹣

令x=n（n+1）（n∈N*），則ln[1+n（n+1）]＞2﹣ ，

∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]

＞（2﹣ ）+（2﹣ ）+…+[2﹣ ]

=2n﹣3[ ]

=2n﹣3（1﹣ ）=2n﹣3+ ＞2n﹣3

∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3

【解析】（1）對函數f（x）求導數，可判f′（x）＜0，進而可得單調性；（2）問題轉化為h（x）= ＞k恒成立，通過構造函數可得h（x）min∈（3，4），進而可得k值；（3）由（Ⅱ）知 （x＞0），可得ln（x+1）＞2﹣ ，令x=n（n+1）（n∈N*），一系列式子相加，由裂項相消法可得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞2n﹣3，進而可得答案．