Question

【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn ， a4+a7=20，對任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 ．
（I） 求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）數列{bn}定義如下：2mbm（m∈N*）是使不等式an≥m成立所有n中的最小值，求{bn}的通項公式及{（﹣1）m﹣1bm}的前2m項和T2m ．

Answer 1

【答案】解：（I）設等差數列{an}的公差為d，∵a4+a7=20，對任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 ．
∴2a1+9d=20，S2=3S1+1即a1+a2=3a1+1，亦即d=a1+1，聯立解得a1=1，d=2，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（II）由an≥m，可得：2n﹣1≥m，解得：n≥ ．
當m=2k﹣1時，k∈N* ， 2mbm=k，即bm= = ．
當m=2k時，k∈N* ， 2mbm=k+1，即bm= = = ．
∴bm= ．
當k∈N*時，（﹣1）2k﹣1﹣1b2k﹣1+（﹣1）2k﹣1b2k= ﹣ = ．
∴T2m=（b1﹣b2）+（b3﹣b4）+…+（b2m﹣1﹣b2m）= + + +…+ + ，
即T2m=0+ + +…+ + ，
T2m=0+ + +…+ + ，
∴ T2m= + +…+ ﹣ = ﹣ = ﹣ ，
∴T2m=
【解析】（I）設等差數列{an}的公差為d，由a4+a7=20，對任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 ． 可得2a1+9d=20，S2=3S1+1即d=a1+1，聯立解出即可得出．（II）由an≥m，可得：2n﹣1≥m，可得：n≥ ．當m=2k﹣1時，k∈N* ， 2mbm=k，可得bm= ．當m=2k時，k∈N* ， 2mbm=k+1，可得bm= ．即可得出bm ． 當k∈N*時，（﹣1）2k﹣1﹣1b2k﹣1+（﹣1）2k﹣1b2k= ．利用分組求和、“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)．