Question

已知數列{a_n}，其中a₁=2，a_n-a_n-1=2^n-1（n≥2，n∈N^*）
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若數列b_n=2log₂a_n-1，記數列{

2

bnbn+1

}的前n項和為S_n，求使S_n＞

9

10

成立的最小正整數n的值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件利用累加法能求出a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=2log₂a_n-1=2n-1，得

2

bnbn+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，由此利用裂項求和法能求出使S_n＞

9

10

成立的最小正整數n的值．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}，其中a₁=2，a_n-a_n-1=2^n-1（n≥2，n∈N^*）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2+2²+2^n-1
=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ．
（2）b_n=2log₂a_n-1=2n-1，
∴

2

bnbn+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴S_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

，
∵S_n＞

9

10

，∴

2n

2n+1

＞

9

10

，
解得n＞

9

2

，∵n∈N^*，∴使S_n＞

9

10

成立的最小正整數n的值為5．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足條件的最小正整數n的值的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．