Question

已知x，y，z是周長等于1的三角形ABC的三邊，
（1）求證：（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz   
（2）求證：x²+y²+z²≥

1

3

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應用

分析：（1）x+y+z=1代入，再利用基本不等式，即可證明；
（2）利用分析法進行證明即可．

解答： 證明：（1）依題知 x，y，z是正數，且x+y+z=1代入
左=（1-x）（1-y）（1-z）=（y+z）（x+z）（x+y）≥2

yz

×2

xz

×2

xy

=8xyz；
（2）要證：x²+y²+z²≥

1

3

，
即證3（x²+y²+z²）≥1，
x+y+z=1代入即證3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²，
展開后即證
x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
由x²+y²≥2 xy，y²+z²≥2yz x²+z²≥2zx，
再同向相加得證．
∴x²+y²+z²≥

1

3

．

點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查分析法，屬于中檔題．