Question

已知函數f（x）=asinx+cosx，a為是常數，x∈R．
（1）請指出函數f（x）的奇偶性，并給予證明；
（2）當a=

3

，x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用函數奇偶性的定義分別通過f（-x）=f（x）與f（-x）=-f（x），求得a．
（2）利用兩角和公式對函數解析式化簡，根據x的范圍和正弦函數的性質求得函數的值域．

解答： 解：（1）f（-x）=-asinx+cosx=f（x）
即-asinx+cosx=asinx+cosx，
∴2asinx=0，
∴a=0，
∴當a=0時，f（x）是偶函數． 
由f（-x）=-f（x）
∴-asinx+cosx=-asinx-cosx，
∴2cosx=0，
僅對x-kπ+

π

2

，k∈Z成立，
∴f（x）是不是奇函數．
綜上：當a=0時，f（x）是偶函數；當a≠0時，f（x）是非奇非偶函數．
（2）當a=

3

時，f(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)，
由x∈[0，

π

2

]，得

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

，

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1．
∴f（x）∈[1，2]．

點評：本題主要考查函數的奇偶性，三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．要求學生對三角函數基礎知識能熟練記憶并靈活運用．