Question

已知3sinx+4cosx=5，求tanx的值．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：解法一：由條件利用同角三角函數的基本關系可得即3•

2t

1+t2

+4

1-t2

1+t2

=5（其中t=tan

x

2

），求出t的值，再利用二倍角的正切公式求得tanx的值．
解法二：由條件利用輔助角公式求得sin（x+ϕ）=1，其中tanϕ=

4

3

(0＜ϕ＜

π

2

)，可得x+ϕ的值，由此求得x的值，可得tanx的值．

解答： 解：解法一：由3sinx+4cosx=5得：3

2sin x 2 cos x 2

sin2 x 2 +cos2 x 2

+4

cos2 x 2 -sin2 x 2

cos2 x 2 +sin2 x 2

=5，
即3•

2t

1+t2

+4

1-t2

1+t2

=5（其中t=tan

x

2

），
整理得9t²-6t+1=0，即（3t-1）²=0，從而t=

1

3

，
所以：tanx=

2t

1-t2

=

2• 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

．
解法二：由3sinx+4cosx=5得：5(

3

5

sinx+

4

5

cosx)=5，
從而sin（x+ϕ）=1，其中tanϕ=

4

3

(0＜ϕ＜

π

2

)．
由sin（x+ϕ）=1得：x+ϕ=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

2

-ϕ，k∈Z，
所以tanx=tan(2kπ+

π

2

-ϕ)=tan(

π

2

-ϕ)=cotϕ=

3

4

．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系，二倍角的正切公式的應用，屬于基礎題．