Question

【題目】已知二次函數.

(1)若是的兩個不同零點,是否存在實數,使成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

(2)設,函數,存在個零點.

(i)求的取值范圍;

(ii)設分別是這個零點中的最小值與最大值,求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 不存在.理由見解析；

(2) (i) (ii)

【解析】

(1) .假設存在實數滿足題意，由韋達定理可得：，解得,又，即，綜合可得假設不成立；

(2) (i)作出函數的圖象，觀察圖像即可求出的取值范圍;

(ii)設直線與此圖象的最左邊和最右邊的交點分別為.即，因為，代入運算可得解.

解:(1)依題意可知,.假設存在實數,使成立.

因為有兩個不同零點，.

所以,解得.

由韋達定理得

所以

解得,而,故不存在.

(2)因為,設,則,

當時,;當時,.

(i)作出函數的圖象，如圖所示,所以.

(ii)設直線與此圖象的最左邊和最右邊的交點分別為.

由,得

由,得

所以

因為，

所以當時，取得最大值.

故的最大值為.