Question

設函數f（x）=（x-2）²e^x．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）是否存在[a，b]（a＜b），使得f（x）在該區間上的值域為[e⁴a，e⁴b]？若存在，求出a，b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f'（x）=x（x-2）e^x，當f′（x）＞0時，解得：x＞2，x＜0，當f（x）＜0時，解得：0＜x＜2，得到函數的單調區間，從而求出函數的極值．
（Ⅱ）分別討論a=0，a＞0的情況，列出方程組，找到單調區間，從而確定出a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f'（x）=x（x-2）e^x，
當f′（x）＞0時，解得：x＞2，x＜0，
當f（x）＜0時，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上單調遞增，（0，2）上單調遞減．
∴y_極大=f（0）=4，y_極小=f（2）=0；
（Ⅱ）∵f（x）≥0，∴a≥0；
若a=0則b≥2，故有（b-2）²e^b=e⁴b
構造g(b)=

(b-2)2

b

eb(b＞2)，
∴g′(b)=[

b2-4

b2

+

(b-2)2

b

]eb＞0
b=4為唯一解．
若a＞0，則2∉[a，b]即b＞a＞2或0＜a＜b＜2
①b＞a＞2時，

f(a)=(a-2)2ea=e4a f(b)=(b-2)2eb=e4b

前面已證至多一解，
不存在滿足條件的a，b；
②0＜a＜b＜2時，

(a-2)2ea=e4b (b-2)2eb=e4a

，相除得a（a-2）²e^a=b（b-2）²e^b
記 h（x）=x（x-2）²e^x（0＜x＜2），
則 h'（x）=（x³-x²-4x+4）e^x=（x²-4）（x-1）e^x，
∴h（x）在（0，1）遞增，（1，2）遞減，
由h（a）=h（b），
∴0＜a＜1，1＜b＜2
此時（a-2）²e^a＜4e＜e⁴b矛盾．
綜上所述，滿足條件的a，b為a=0，b=4．

點評：本題考察了函數的單調性，求函數的最值問題，導數的應用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．