Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形， , .

（Ⅰ）若是的中點，求證： 平面；

（Ⅱ）若， ，求三棱錐的高.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接交于,連接.在三角形中,中位線 ,且平面, 平面,∴平面；（Ⅱ）由, 可得與底面垂直，在中，設的中點為，連接，則是三棱柱的高，計算出三角形與面積，利用可求得點到平面的距離為.

試題解析：

（Ⅰ）連接交于,連接.在三角形中,

中位線 ,

且平面, 平面,

∴平面.

（Ⅱ）在中，設的中點為，連接，則，又，

∴,又∵，

∴，∴ ，解得.

所以點到平面的距離為： .

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐的高，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.