Question

【題目】已知函數，，其中是自然常數.

(1)判斷函數在內零點的個數，并說明理由；

(2)，，使得不等式成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 存在1個零點；理由見解析.

(2) .

【解析】分析：（1）在內零點的個數1，求得的導數，判斷符號，可得單調性，再由函數零點存在定理，即可得到結論；
（2）由題意可得，即 ，分別求得 在上的單調性，可得最值，解的不等式，即可得到所求范圍．

詳解：

(1)函數在上的零點的個數為1，理由如下：

因為，所以，

因為，所以，所以函數在上單調遞增.

因為，，

根據函數零點存在性定理得函數在上存在1個零點.

(2)因為不等式等價于，

所以，，使得不等式成立，等價于

，即，

當時，，故在區間上單調遞增，

所以當時，取得最小值，又，

當時，，，，所以，

故函數在區間上單調遞減.

因此，當時，取得最大值，所以，所以，

所以實數的取值范圍為.