Question

【題目】已知函數f(x)對任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x>0時，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)求證：f(x)是R上的單調減函數．

(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）－2

【解析】

（1）本題中，需要證明的是函數的增減性，則需要回歸定義，從定義出發，根據增減性采用合適的拼湊法來進行證明

（2）抽象函數函數值的求法需要通過合理賦值求得，需要考慮函數的增減性。

(1)證明：設x1，x2是任意的兩個實數，且x1<x2，

則x2－x1>0，因為x>0時，f(x)<0，

所以f(x2－x1)<0，

又因為x2＝(x2－x1)＋x1，

所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]

＝f(x2－x1)＋f(x1)，

所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，

所以f(x2)<f(x1)．

所以f(x)是R上的單調減函數．

(2)由(1)可知f(x)在R上是減函數，

所以f(x)在[－3,3]上也是減函數，

所以f(x)在[－3,3]上的最小值為f(3)．

而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.

所以函數f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.