Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側面底面，.

（1）求證：平面平面；

（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）利用面面垂直的性質證得，利用線面垂直的性質證得，進而可得面，平面平面；
（2）首先由不等式證得當時，三棱錐體積最大，然后建立空間直角坐標系，利用空間向量來求二面角的平面角，不難求解．

（1）證明：∵側面底面，側面底面，四邊形為正方形，∴，面，∴面，

又面，∴，平面，面，∴，

，平面，∴面，面，

∴平面平面．

（2），

求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值．

令，由（1）知，，∴，

而，當且僅當，即時，的最大值為．

如圖所示，分別取線段，中點，，連接，，以點為坐標原點，以，和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系．

由已知，所以，

令為面的一個法向量，則有，∴

易知為面的一個法向量，二面角的平面角為，為銳角

則．