Question

【題目】如圖所示，在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側面內一點，若平面，則線段長度的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，易證平面A1MN∥平面AEF，由題意知點P必在線段MN上，由此可判斷P在M或N處時A1P最長，位于線段MN中點處時最短，通過解直角三角形即可．

如圖所示：分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，連接BC1，

∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥BC1，EF∥BC1，

∴MN∥EF，又MN平面AEF，EF平面AEF，∴MN∥平面AEF；

∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四邊形AENA1為平行四邊形，

∴A1N∥AE，又A1N平面AEF，AE平面AEF，∴A1N∥平面AEF，

又A1N∩MN＝N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是側面BCC1B1內一點，且A1P∥平面AEF，

則P必在線段MN上，在Rt△A1B1M中，，

同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N＝，∴△A1MN為等腰三角形，

當P在MN中點O時A1P⊥MN，此時A1P最短，P位于M、N處時A1P最長，

，A1M＝A1N＝，

所以線段A1P長度的取值范圍是 ．

故選B．