Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P的坐標為（2，

3

），且F₂在線段PF₁的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如果圓E：（x-

1

2

）²+y²=r²上的所有點都不在橢圓C的外部，求圓E的半徑r的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

c

a

=

2

2

，（2c）²=（

3

）²+（2-c）²，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點，則

x02

2

+y02=1，|PE|=

(x0- 1 2 )2+y02

，由此利用兩點間距離公式能求出半徑r的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓C的離心率e=

2

2

，得：

c

a

=

2

2

，…（1分）
其中c=

a2-b2

，橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），
又點F₁在線段PF₁的中垂線上，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴（2c）²=（

3

）²+（2-c）²，…（3分）
解得c=1，a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1． …（6分）
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點，
則

x02

2

+y02=1，|PE|=

(x0- 1 2 )2+y02

，
∵y02=1-

x02

2

，…（8分）
∴|PE|=

(x0- 1 2 )2+1- x02 2

=

1 2 x02-x0+ 5 4

，（-

2

≤x0≤

2

）．
當x₀=1時，|PE|_min=

1 2 -1+ 5 4

=

3

2

，
∴半徑r的最大值為

3

2

．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查半徑的最大值的求法，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．