Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中點，點Q在側棱PC上．
（1）求證：AD⊥平面PBE
（2）若V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，試求

CP

CQ

的值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明AD⊥PE，AD⊥BE，即可證明AD⊥平面PBE
（2）分別求體積，利用V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面積SBCDE=

3

4

SABCD，可得

CP

CQ

的值．

解答： （1）證明：由E是AD的中點，PA=PD，所以AD⊥PE；
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°
所以AB=BD，
又因為E是AD的中點，
所以AD⊥BE，
又PE∩BE=E，
所以AD⊥平面PBE．…（6分）
（2）解：設四棱錐P-BCDE，Q-ABCD的高分別為h₁，h₂．
所以VP-BCDE=

1

3

SBCDE•h1，VQ-ABCD=

1

3

SABCD•h2，
又因為V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面積SBCDE=

3

4

SABCD，
所以

CP

CQ

=

h1

h2

=

8

3

．…（12分）

點評：本題重點考查了空間中垂直關系的判定、空間中體積公式等知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．