【題目】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）由
分別為
，
的中點，
，根據(jù)條件可得
，可證
，要證平面
平面
，只需證明
平面即可；
（2）連接
，先求證四邊形
是平行四邊形，根據(jù)幾何關系求得
，在截取
，由（1）
平面，可得
為
與平面所成角，即可求得答案.
（1）
分別為，的中點，
又
在
中，
為中點，則
又側(cè)面
為矩形，
由
，
平面
平面
又
，且
平面
，
平面，
平面
又
平面，且平面
平面
又
平面
平面
平面
平面平面
（2）連接
平面，平面
平面
根據(jù)三棱柱上下底面平行，
其面
平面
，面平面
故：四邊形是平行四邊形
設邊長是
(
)
可得：
，
為
的中心，且邊長為
故：
解得：
在截取
，故
且
四邊形
是平行四邊形，
由（1）
平面
故為與平面所成角
在
，根據(jù)勾股定理可得：
直線與平面所成角的正弦值：.
尖子生新課堂課時作業(yè)系列答案
英才計劃同步課時高效訓練系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】以直角坐標系
的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，并且在兩種坐標系中取相同的長度單位.若將曲線
（
為參數(shù)）上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>
（縱坐標不變），然后將所得圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到曲線C.直線l的極坐標方程為
.
（1）求曲線C的普通方程；
（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，與x軸交于點P，線段AB的中點為M，求
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知A、B分別為橢圓E：
（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，
，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；
（2）設a>0時，討論函數(shù)g（x）=
的單調(diào)性．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知
，動點
滿足
.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）若點M為（1）中軌跡上一動點，
，直線MA與的另一個交點為N；記
，若t值與點M位置無關，則稱此時的點A為“穩(wěn)定點”.是否存在 “穩(wěn)定點”？若存在，求出該點；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
Ⅰ
當
時，
取得極值，求
的值并判斷是極大值點還是極小值點；
Ⅱ當函數(shù)有兩個極值點
，
，且
時，總有
成立，求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知經(jīng)過圓
上點
的切線方程是
.
（1）類比上述性質(zhì)，直接寫出經(jīng)過橢圓
上一點的切線方程；
（2）已知橢圓
，P為直線
上的動點，過P作橢圓E的兩條切線，切點分別為AB，
①求證：直線AB過定點.
②當點P到直線AB的距離為
時，求三角形PAB的外接圓方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】2020年寒假期間，某高中決定深入調(diào)查本校學生寒假期間在家學習情況，并將依據(jù)調(diào)查結(jié)果對相應學生提出針對性學習建議．現(xiàn)從本校高一、高二、高三三個年級中分別隨機選取30，45，75人，然后再從這些學生中抽取10人，進行學情調(diào)查．
（1）若采用分層抽樣抽取10人，分別求高一、高二、高三應抽取的人數(shù)．
（2）若被抽取的10人中，有6人每天學時超過7小時，有4人每天學時不足4小時，現(xiàn)從這10人中，再隨機抽取4人做進一步調(diào)查．
（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學時不足4小時”，求事件A發(fā)生的概率；
（ii）用ξ表示被抽取的4人中學時不足4小時的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．
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