Question

對于函數f(x)=

ax2+bx

，存在一個正數b，使得f（x）的定義域和值域相同，則非零實數a的值為

-4

．

Answer 1

分析：根據函數的定義域與值域相同，故可以求出參數表示的函數的定義域與值域，由兩者相同，故比較二區間的端點得出參數滿足的方程解方程求參數即可．

解答：解：若a＞0，由于ax²+bx≥0，即x（ax+b）≥0，
∴對于正數b，f（x）的定義域為：D=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，對于正數b，f（x）的定義域為 D=[0，-

b

a

]．
由于此時 [f(x)]max=f(-

b

2a

)=

b

2 -a

，
故函數的值域 A=[0，

b

2 -a

]．
由題意，有 -

b

a

=

b

2 -a

，由于b＞0，所以a=-4．
故答案為：-4

點評：本題主要考查了函數的值域，以及函數的定義域和解方程，屬于中檔題．