Question

對于函數f(x)=a-

1

2x+1

(a∈R)：
（1）探究函數f（x）的單調性，并給予證明；
（2）是否存在實數a使函數f（x）為奇函數？
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用導數大于0，可得函數f（x）在R上單調增；
（2）若函數f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x），從而可建立方程，由此可得存在實數a使函數f（x）為奇函數；
（3）先確定-1＜-

1

2x+1

＜0，進而可求函數f（x）的值域．

解答：解：（1）函數f（x）在R上單調增．
證明：求導函數可得：f′(x)=

2xln2

(2x+1)2

∵x∈R，∴f′(x)=

2xln2

(2x+1)2

＞0
∴函數f（x）在R上單調增．
（2）解：若函數f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x）
∴a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

∴2a=1
∴a=

1

2

∴當a=

1

2

時，函數f（x）為奇函數；
（3）解：∵2^x＞0
∴2^x+1＞1
∴0＜

1

2x+1

＜1
∴-1＜-

1

2x+1

＜0
∴a-1＜a-

1

2x+1

＜a
∴函數f（x）的值域為（a-1，a）

點評：本題綜合考查函數的單調性與奇偶性，考查函數的值域，解題的關鍵是正確理解函數的單調性與奇偶性，掌握求函數值域的一般方法，