Question

（2009•山東模擬）對于函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

(a∈R)．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義，令f（-x）+f（x）=0，根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可求出a值．

解答：證明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1+1

）-（a-

2

2x2+1

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

為奇函數(shù)
則f（-x）+f（x）=a-

2

2-x+1

+a-

2

2x+1

=a-

2•2x

2x+1

+a-

2

2x+1

=2a-

2•(2x+1)

2x+1

=2a-2=0
解得a=1
故存在實(shí)數(shù)a=1使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義是解答的關(guān)鍵．