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(2009•山東模擬)對于函數(shù)f(x)=a-
22x+1
(a∈R)

(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù);
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?
分析:(1)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,判斷f(x1)-f(x2)的符號,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,可得結(jié)論;
(2)根據(jù)奇函數(shù)的定義,令f(-x)+f(x)=0,根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可求出a值.
解答:證明:任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,
2x12x2,2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)=(a-
2
2x1+1
)-(a-
2
2x2+1
)=
2
2x2+1
-
2
2x1+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
<0
∴f(x1)<f(x2
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù);
(2)若函數(shù)f(x)=a-
2
2x+1
為奇函數(shù)
則f(-x)+f(x)=a-
2
2-x+1
+a-
2
2x+1
=a-
2•2x
2x+1
+a-
2
2x+1
=2a-
2•(2x+1)
2x+1
=2a-2=0
解得a=1
故存在實(shí)數(shù)a=1使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性,熟練掌握函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•山東模擬)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)在[0,1]上的最大值與最小值的和為3,則a等于( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•山東模擬)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7},則A∩?UB等于( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•山東模擬)設(shè)
a
=(x,-2),
b
=(-3,5)
,且
a
,
b
的夾角為鈍角,則x的取值范圍是
x>-
10
3
x≠
6
5
x>-
10
3
x≠
6
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•山東模擬)已知直線的傾斜角為θ,且sinθ=
4
5
,則此直線的斜率是( 。

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同步練習(xí)冊答案
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