Question

對于函數f(x)=a-

2

2x+1

(a∈R)：
（Ⅰ）　是否存在實數a使函數f（x）為奇函數？
（Ⅱ）　探究函數f（x）的單調性（不用證明），并求出函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）因為f（x）的定義域為R，所以f（0）=0，代入函數解析式即可解得a的值，再利用奇函數的定義證明此時的函數為奇函數即可；
（II）先利用復合函數法判斷函數f（x）的單調性，再利用復合函數法求此函數的值域即可

解答：解：（Ⅰ）假設存在實數a函數f(x)=a-

2

2x+1

是奇函數，因為f（x）的定義域為R，
所以f（0）=a-1=0，所以a=1
此時f(x)=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，則f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
所以f（x）為奇函數
即存在實數a=1使函數f（x）為奇函數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-

2

2x+1

，因為2^x+1在R上遞增，所以

2

2x+1

在R上遞減，所以f(x)=1-

2

2x+1

在R上遞增．
∵2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1，
即函數f（x）的值域為（-1，1）

點評：本題考查了奇函數的定義和性質，復合函數法判斷函數的單調性和求函數的值域，分清復合函數的構成是解決本題的關鍵