Question

對于函數f(x)=a-

2

bx+1

 （a∈R，b＞0且b≠1）
（1）判斷函數的單調性并證明；
（2）是否存在實數a使函數f （x）為奇函數？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據單調性的定義證明，步驟：①取值 ②作差 ③化簡 ④判號 ⑤下結論；
（2）先用特值法f（0）=0求出a，再檢驗．

解答：解：（1）函數f （x）的定義域是R，
當b＞1時，函數f （x）在R上單調遞增；當0＜b＜1時，函數f （x）在R上是單調遞減．
證明：任取R上兩x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f （x₁）-f （x₂）=a-

2

bx1+1

-（ a-

2

bx2+1

）=

2

bx2+1

-

2

bx1+1

=

2(bx1-bx2)

(bx1+1)•(bx2+1)

當b＞1時，∵x₁＜x₂∴bx1＜bx2∴bx1-bx2＜0
得f （x₁）-f （x₂）＜0   
所以f （x₁）＜f （x₂）
故此時函數f （x）在R上是單調增函數；
當0＜b＜1時，∵x₁＜x₂∴bx1＞bx2∴bx1-bx2＞0
得f （x₁）-f （x₂）＞0         
所以f （x₁）＞f （x₂）
故此時函數f （x）在R上是單調減函數．
（2）f （x）的定義域是R，
由f（0）=0，求得a=1．
當a=1時，f(-x)=1-

2

b-x+1

=

b-x-1

b-x+1

=

1-bx

1+bx

，f(x)=1-

2

bx+1

=

bx-1

bx+1

滿足條件f（-x）=-f（x），
故a=1時函數f （x）為奇函數．

點評：（1）單調性的判斷中注意分類討論；（2）注意奇偶性中結論的利用．