Question

【題目】如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，雙曲線(xiàn)以A、B為頂點(diǎn)，焦距為，點(diǎn)P是上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AP與橢圓相交于另一點(diǎn)Q，線(xiàn)段AQ的中點(diǎn)為M，記直線(xiàn)AP的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求雙曲線(xiàn)的方程；

(2)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍；

(3)是否存在定直線(xiàn)使得直線(xiàn)BP與直線(xiàn)OM關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？若存在，求直線(xiàn)的方程；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在直線(xiàn)滿(mǎn)足題意，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到，即可求得雙曲線(xiàn)的方程；

（2）由在上單調(diào)遞增，即可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍；

（3）求出，可得直線(xiàn)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即可求解．

（1）由題意，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，雙曲線(xiàn)以A、B為頂點(diǎn)，焦距為，可得，所以，

所以雙曲線(xiàn)的方程．

（2）由題意，設(shè)，

直線(xiàn)的方程為，

代入橢圓方程，整理，

所以或，所以，

所以在上單調(diào)遞增，所以．

（3）由（1）雙曲線(xiàn)的方程，

可得，同理,

所以，即，

設(shè)直線(xiàn)，則直線(xiàn)，解得，

所以直線(xiàn)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．