Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若，求函數(shù)的最值；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）最小值為，最大值為1；（2）當(dāng)或時，在內(nèi)有1個零點；當(dāng)時，在內(nèi)無零點．

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，求出極值，再求出端點值即可求解.

（2）由題意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù)，對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)結(jié)合定義域分三種情況討論①當(dāng)時；②當(dāng)時；③當(dāng)時，分別求出函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，從而可判斷出函數(shù)零點的個數(shù).

（1）若，則，，

令，解得；

而，，，

故函數(shù)的最小值為，最大值為1．

（2）令，

因為，故，

令，故問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù)；

而，

①當(dāng)時，即，當(dāng)時，，

故在上單調(diào)遞減，

，，

故當(dāng)，即時，在上恒成立，

當(dāng)時，在內(nèi)無零點；

當(dāng)，即，

即時，，

由零點存在性定理可知，此時在內(nèi)有零點，

因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，此時在內(nèi)有一個零點；

②當(dāng)時，即，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，

，，

故當(dāng)，即時，，

由零點存在性定理，此時在內(nèi)有零點，

因為在內(nèi)單調(diào)遞增，故僅有1個零點；

當(dāng)時，，此時在內(nèi)無零點；

③當(dāng)時，即，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，．

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，

故，此時在內(nèi)無零點；

綜上所述，當(dāng)或時，在內(nèi)有1個零點；

當(dāng)時，在內(nèi)無零點．