Question

【題目】已知動點到定點的距離之和為4.

（1）求動點的軌跡方程

（2）若軌跡與直線交于兩點，且求的值.

（3）若點與點在軌跡上，且點在第一象限，點在第二象限，點與點關于原點對稱，求證：當時，三角形的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）定值，見解析

【解析】

(1)求得橢圓的,即可求動點的軌跡方程
(2)將直線代入橢圓方程,可得的方程,運用韋達定理和判別式大于0,由弦長公式,解方程即可得到所求值;
(3)求出直線AB的方程,運用點到直線的距離公式求得P到直線AB的距離,弦長AB,運用三角形的面積公式可得,再由A,P滿足橢圓方程,結合條件,計算即可得到三角形的面積為定值.

(1)動點Q到兩定點、的距離和為4,滿足橢圓的定義,且,
動點的軌跡方程：
(2)將直線代入橢圓方程,可得
,
,解得,
設

則
即有,
解得,滿足
(3)證明:直線AB的方程為,即為,
可得到直線AB的距離為,
,
則═,
由，得 因為
可得
則
由,可得
即有
故當時,三角形的面積為定值