Question

【題目】如圖，正方體，點，，分別是棱，，的中點，動點在線段上運動.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接，，，，利用線面平行的判定定理證出平面， 平面，利用面面平行的判定定理證出平面平面，再利用面面平行的性質定理即可證出.

（2）以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，令，求出平面的一個法向量，由即可求解.

證明：（1）如圖：連接，，，，

∵，分別是，的中點，∴.

又，∴，∵平面，平面，

∴平面，

∵，分別是，的中點，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴，

又，，∴，，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

∵平面，平面，

∴平面，

∵，∴平面平面，

又∵平面，∴平面.

（2）以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，

如圖所示建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，

則，，，，，

，，，

∵在線段上，令，

則，

，

設是平面的法向量，則

，即，取，得，，

∴.

設直線與平面所成角為，則

，

∵，∴時，.

∴直線與平面所成角的正弦值的最大值.