Question

【題目】設橢圓的右頂點為，上頂點為.已知橢圓的離心率為，.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設直線：與橢圓交于，兩點，且點在第二象限.與延長線交于點，若的面積是面積的3倍，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）根據離心率和弦長列方程組，解方程組求得的值，進而求得橢圓方程.（II）設出兩點的坐標，利用的面積與面積的關系得到，利用向量結合平面向量共線的坐標運算，求得兩點橫坐標的關系.分別聯立直線的方程與直線、直線的方程與橢圓的方程，根據兩點橫坐標的關系列方程，解方程求得的值.

（Ⅰ）設橢圓的焦距為，由已知得∴，，

所以，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設點，，由題意，且

由的面積是面積的3倍，可得，所以

，從而，所以

，即.

易知直線的方程為，由消去，可得

由方程組消去，可得.

由，可得，

整理得，解得，或.

當時，，符合題意；

當時，，不符合題意，舍去.

所以，的值為.