Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的圖象與x軸相切，求實數a的值；

（2）討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）1（2）當或時，函數有唯一零點；當或時，函數有兩個零點.

【解析】

（1）令，求切點，再根據求的值；

（2），當時討論函數的單調性，求零點個數，當時，判斷函數的單調性，可知函數的單調性，并得到函數的最大值，設，根據（1）的單調性，再討論函數的零點個數.

（1），令，則，

因為函數的圖象與x軸相切，所以，

即，

令，則，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，所以，

所以有唯一解，即實數a的值為1.

（2），

①當時，，函數在上單調遞增，且，函數有唯一零點；

②當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

，

由（1）的單調性知：

（ⅰ）當時，，所以函數只有一個零點；

（ⅱ）當時，，，

所以函數在上有一個零點，，

令，則，

所以函數在上單調遞增，又，故

當時，，所以，

所以函數在上有一個零點，

所以函數在上有兩個零點；

（ⅲ）當時，，，

所以函數在上有一個零點，

當時，，，

所以函數在上有一個零點，

所以函數在上有兩個零點，

綜上，當或時，函數有唯一零點；

當或時，函數有兩個零點.