Question

【題目】如圖，在空間直角坐標系O-xyz中，已知正四棱錐PABCD的高OP＝2，點B，D和C，A分別在x軸和y軸上，且AB＝ ，點M是棱PC的中點．

（1）求直線AM與平面PAB所成角的正弦值；

（2）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）－.

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，求得向量的坐標和平面PAB的一個法向量，再利用線線角的向量方法求解.

（2）由（1）知平面PAB的一個法向量，再求得平面PBC的一個法向量，利用面面角的向量方法求解.

（1）建立如圖所示空間直角坐標系

記直線AM與平面PAB所成角為，

則A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，M，

則＝(1，1，0)，＝(0，－1，－2)，＝.

設平面PAB的法向量為＝(x,y,z)，

所以即

令x＝2，則y＝－2，z＝1，

所以平面PAB的一個法向量為＝(2，－2，1)，

所以sinα＝|cos〈，〉|＝＝＝.

即直線AM與平面PAB所成角的正弦值為.

（2）設平面PBC的法向量為＝(x1，y1，z1)，＝(－1，1，0)，＝(1，0，－2)．

由即

令x1＝2，則y1＝2，z1＝1，所以平面PBC的一個法向量為＝(2，2，1)，

所以cos〈，〉＝＝＝.

由圖可知二面角A-PB-C為鈍角，故二面角的余弦值為－.