【題目】將邊長(zhǎng)為正整數(shù)m、n的矩形劃分成若干邊長(zhǎng)均為正整數(shù)的正方形，每個(gè)正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長(zhǎng)之和的最小值.
【答案】
【解析】
記所求最小值為
，可以證明
.（*）
事實(shí)上，不妨設(shè)
.
（1）對(duì)m歸納，可證明存在一種合乎題意的分法，使所得正方形邊長(zhǎng)之和恰為
.
當(dāng)m=1,時(shí)，命題顯然成立.
假設(shè)當(dāng)
時(shí)，結(jié)論成立
.當(dāng)
時(shí)，若
，則命題顯然成立，若
，從矩形ABCD中切去正方形
（如圖）.由歸納假設(shè)，矩形
有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和恰為
.
于是，原矩形ABCD有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和為.
（2）對(duì)m歸納可以證明（*）成立.
當(dāng)m=1時(shí)，由于n=1，顯然
.
假設(shè)當(dāng)時(shí)，對(duì)任意
，有
.
若，當(dāng)時(shí)，顯然
當(dāng)
時(shí)，設(shè)矩形ABCD按要求分成了p個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)分別為
.不妨設(shè)
.
顯然，
或
.
若，則在AD與BC之間的與AD平行的任一直線至少穿過二個(gè)分成的正方形（或其邊界），于是
不少于AB與CD之和.
故
.
若，則一個(gè)邊長(zhǎng)分別為m-n和n的矩形可按題目要求分成邊長(zhǎng)分別為
的正方形，由歸納假設(shè)
.
從而，
于是，當(dāng)m=k+1時(shí)，
再由（1）可知，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某文體局為了解“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期間“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程（單位：公里）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D. 1月至5月的月跑步平均里程相對(duì)于6月至11月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
．
（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)＝
.
(1) 若不等式k≤xf(x)＋
在x∈[1，3]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(2) 當(dāng)x∈
(m>0，n>0)時(shí)，函數(shù)g(x)＝tf(x)＋1(t≥0)的值域?yàn)閇2－3m，2－3n]，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)曲線
（a為正常數(shù)）與
在x軸上方僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；
（2）O為原點(diǎn)，若
與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)
時(shí)，試求△OAP的面積的最大值（用a表示）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè) a ∈ N+ ， a ≥ 2 ， 集合
.在閉區(qū)間[ 1， a ] 上是否存在 b ， 使 A ∩ B ≠ 
? 如果存在， 求出 b 的一切可能值及相應(yīng)的 A ∩ B；如果不存在， 試說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在古裝電視劇《知否》中，甲乙兩人進(jìn)行一種投壺比賽，比賽投中得分情況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種，其中“有初”算“兩籌”，“貫耳”算“四籌”，“散射”算“五籌”，“雙耳”算“六籌”，“依竿”算“十籌”，三場(chǎng)比賽得籌數(shù)最多者獲勝.假設(shè)甲投中“有初”的概率為
，投中“貫耳”的概率為
，投中“散射”的概率為
，投中“雙耳”的概率為
，投中“依竿”的概率為
，乙的投擲水平與甲相同，且甲乙投擲相互獨(dú)立.比賽第一場(chǎng)，兩人平局;第二場(chǎng)，甲投了個(gè)“貫耳”，乙投了個(gè)“雙耳”，則三場(chǎng)比賽結(jié)束時(shí)，甲獲勝的概率為( )
A.
B.
C.D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長(zhǎng)為
．
（1）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的左焦點(diǎn)為
，過點(diǎn)的直線
與橢圓交于
兩點(diǎn)，則在
軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)
使得直線
的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，也請(qǐng)說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知△
的三個(gè)內(nèi)角
、
、
所對(duì)應(yīng)的邊分別為
、
、
，復(fù)數(shù)
，
，（其中
是虛數(shù)單位），且
.
（1）求證：
，并求邊長(zhǎng)的值；
（2）判斷△的形狀，并求當(dāng)
時(shí)，角的大小.
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